МКОУ "Специальная школа № 106" 






                                                                  
Методы,упрощающие  решение 
           рациональных уравнений.




                                                                      учитель математики 
                                                                     Колесникова Жанна 
                                                                              Валентиновна




г Новокузнецк


         Уравнение   p(x)   =   0,   где   p(x) — рациональное выражение,  
называется рациональным. Их решение сводится к упрощению  
рационального выражения или сведению его к другому виду и нахождению корней полученного уравнения. 
- Если получили уравнение,в котором левая часть является произведением,то пользуемся условием,что произведение равно нулю,если один из множителей равен нулю. 
- Если в результате упрощения в левой части получается алгебраическая  дробь, то исходим из того, что дробь равна нулю, если её числитель равен  нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.  
        Рассмотрим случаи,упрощающие решение рациональных уравнений.
Считаю важным для учащихся знать формулы Виета. Они во многом упрощают решение квадратных уравнений,не обязательно с коэффициентом при x2 равным единице.
Пример 1.Решить уравнение:
2x2 - 5x + 2 = 0
Чтобы решить его с помощью формул Виета,умножим уравнение на 2:
4x2 - 5 ?2 x + 4=0   или
(2х)2-5(2х) +4=0
Произведём замену  2х=a ( можно устно)
а2 — 5а+4=0
Уравнение равносильно системе уравнений:
а1+а2=5  и  а1 ?а2=4
Имеем: а1=1,а2=4
Возвращаемся к первоначальной переменной 
2х=1 ,  2х=4
Получим в итоге
х1=0,5;х2=2
Пример 2.Решить уравнение:
6x2 - 5x + 1 = 0
Разделим уравнение на x2,не равный нулю. При этом корни не теряем, т к х=0 не корень уравнения.
Получим  6-5(1:х)+(1:х)2=0
или (1:х)2-5(1:х)+ 6=0
Произведём замену 1:х=а ( можно устно)
а2 - 5а+6=0
Корни уравнения а1=2,а2=3,откуда х1=1/2,х2=1/3
Есть уравнения высших степеней,которые тоже можно решить с помощью формул Виета или через дискриминант для квадратного уравнения.
Уравнения вида  ах4+вх3+сх2+кх+р=0
где  х=0   называются возвратными уравнениями четвёртой степени,если их можно решить,заменив выражение х+   новой неизвестной.
Уравнения вида  ах4+вх3+сх2+вх+а=0
 называются симметричными уравнениями четвёртой степени. Это частный случай возвратного уравнения. Решается уравнение с помощью введения вспомогательной переменной.
Пример 2.Решить уравнение:
                х4-3х3+4х2-3х+1=0
Так как x=0 не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на x2. Получим:
                х2-3х+4-3(1:х) +(1:х)2   =0
Сгруппируем слагаемые,равноотстоящие от концов.
       (  х2+(1:х)2) -3(х+(1:х)) +4   =0
Замена: х+(1:х)  =а,тогда а2=х2+2+(1:х)2   ,откуда х2+(1:х)2 =а2-2
Получим уравнение:  а2-2-3а+4=0
или                а2-3а+2=0
По формулам Виета получаем корни а1=2,а2=1
Возвращаемся к первоначальной переменной.
 х+(1:х)  = 2 
х2+1=2х
х2-2х+1=0
х=1
 х+(1:х)  =1
х2+1=х
х2-х+1=0
Корней это уравнение не имеет,т к является неполным квадратом. Ответ: х=1



Используемая литература:
1.М.И.Сканави ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА
2.Колесникова Ж.В.,Осипова Л.А.,Полещук Г.Г. Методическое пособие "Лабораторные работы по теории многочленов"
3.Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
4. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.